Parameterschätzung eines autoregressiven gleitenden Durchschnittsmodells. Beenden Sie diesen Artikel als Nakano, J Ann Inst Stat Math 1982 34 83 doi 10 1007 BF02481009.Ein Schätzer des Satzes von Parametern eines autoregressiven gleitenden Durchschnittsmodells wird durch Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate erhalten Zu dem log geglätteten Periodogramm Es wird gezeigt, dass es asymptotisch wirksam ist und normalerweise unter der Normalität und dem kreisförmigen Zustand des Erzeugungsprozesses verteilt wird. Ein Berechnungsverfahren wird nach dem Newton-Raphson-Verfahren aufgebaut. Es werden mehrere Computer-Simulationsergebnisse gegeben, um die Nützlichkeit der Gegenwart zu demonstrieren Prozedur. Anderson, TW 1977 Schätzung für autoregressive gleitende durchschnittliche Modelle in den Zeit - und Frequenzbereichen, Ann Statist, 5 842 865 MATH MathSciNet Google Scholar. 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Allerdings sollten die gleitenden durchschnittlichen Modelle nicht mit der gleitenden durchschnittlichen Glättung verwechselt werden, die wir in Kapitel 6 besprochen haben. Ein gleitendes Durchschnittsmodell wird für die Prognose zukünftiger Werte beim gleitenden durchschnittlichen Glättung verwendet Wird zur Schätzung des Trendzyklus vergangener Werte verwendet. Abbildung 8 6 Zwei Beispiele für Daten aus bewegten Mittelmodellen mit unterschiedlichen Parametern Linke MA 1 mit yt 20 et 0 8e t-1 Rechts MA 2 mit ytet - e t-1 0 8e T-2 In beiden Fällen ist et normal normales Rauschen mit mittlerem Nullpunkt und Varianz eins. Abbildung 8 6 zeigt einige Daten aus einem MA 1 Modell und einem MA 2 Modell Ändern der Parameter theta1, Punkte, Thetaq führt zu unterschiedlichen Zeitreihenmustern Wie bei autoregressiven Modellen ändert die Varianz des Fehlerterms nur den Maßstab der Serie, nicht die Muster. Es ist möglich, jedes stationäre AR-Modell als MA-Inft-Modell zu schreiben. Beispielsweise können wir mit wiederholter Substitution nachweisen Dies für ein AR 1 Modell. Beginn des Phi1y et phi1 phi1y e et phi1 2y phi1 e et phi1 3y phi1 2e phi1 e et text end. Provided -1 phi1 1, wird der Wert von phi1 k kleiner, wenn k größer wird. Yt et phi1 e phi1 2 e phi1 3 e cdots. an MA infty Prozess. Das umgekehrte Ergebnis gilt, wenn wir einige Einschränkungen auf die MA-Parameter auferlegen. Dann wird das MA-Modell als invertierbar bezeichnet. Das heißt, dass wir einen invertierbaren MA q - Prozeß schreiben können Ein AR-Infty-Prozess. Unvertible Modelle sind nicht einfach, um es uns zu ermöglichen, von MA-Modellen in AR-Modelle umzuwandeln. Sie haben auch einige mathematische Eigenschaften, die sie in der Praxis einfacher zu bedienen machen. Die Invertierbarkeitsbeschränkungen sind ähnlich wie die Stationaritätsbeschränkungen. Für eine MA 1 Modell -1 theta1 1.Für ein MA 2 Modell -1 theta2 1, theta2 theta1 -1, theta1 - theta2 1.Mehr komplizierte Bedingungen gelten für q ge3 Wiederum wird R diese Einschränkungen bei der Schätzung der Modelle berücksichtigen Gleitender Durchschnitt wird eine gute Schätzung des Mittelwertes der Zeitreihen liefern, wenn der Mittelwert konstant oder langsam verändert ist. Im Falle eines konstanten Mittels wird der größte Wert von m die besten Schätzungen des zugrunde liegenden Mittels geben. Eine längere Beobachtungsperiode wird durchschnittlich sein Out die Auswirkungen der Variabilität. Der Zweck der Bereitstellung einer kleineren m ist es, die Prognose auf eine Änderung in der zugrunde liegenden Prozess zu reagieren Um zu veranschaulichen, schlagen wir einen Datensatz, der Änderungen in der zugrunde liegenden Mittel der Zeitreihe enthält Die Abbildung zeigt die Zeitreihen für die Illustration zusammen mit der mittleren Nachfrage, aus der die Serie erzeugt wurde Der Mittelwert beginnt als Konstante bei 10 Beginnend zum Zeitpunkt 21, erhöht er sich um eine Einheit in jeder Periode, bis er den Wert von 20 zum Zeitpunkt 30 erreicht. Dann wird es Konstant wieder Die Daten werden durch Hinzufügen zum Mittelwert, ein zufälliges Rauschen aus einer Normalverteilung mit Nullmittelwert und Standardabweichung simuliert. 3 Die Ergebnisse der Simulation werden auf die nächste Ganzzahl gerundet. Die Tabelle zeigt die simulierten Beobachtungen, die für das Beispiel verwendet werden Benutze die Tabelle, wir müssen uns erinnern, dass zu einem beliebigen Zeitpunkt nur die vergangenen Daten bekannt sind. Die Schätzungen des Modellparameters sind für drei verschiedene Werte von m zusammen mit dem Mittelwert der Zeitreihen in der folgenden Abbildung dargestellt Zeigt die gleitende durchschnittliche Schätzung des Mittelwertes zu jeder Zeit und nicht die Prognose Die Prognosen würden die gleitenden durchschnittlichen Kurven nach rechts um Perioden verschieben. Eine Schlussfolgerung ist sofort aus der Figur ersichtlich. Für alle drei Schätzungen liegt der gleitende Durchschnitt hinter dem linearen Trend zurück, Mit der Verzögerung mit m Die Verzögerung ist der Abstand zwischen dem Modell und der Schätzung in der Zeitdimension Wegen der Verzögerung unterschätzt der gleitende Durchschnitt die Beobachtungen, wenn der Mittelwert zunimmt. Die Vorspannung des Schätzers ist der Unterschied zu einer bestimmten Zeit in Der Mittelwert des Modells und der Mittelwert, der durch den gleitenden Durchschnitt vorhergesagt wird. Die Vorspannung, wenn der Mittelwert zunimmt, ist negativ Für einen abnehmenden Mittelwert ist die Vorspannung positiv. Die Verzögerung in der Zeit und die Vorspannung, die in der Schätzung eingeführt werden, sind Funktionen von m Der Wert von m um so größer ist die Größe der Verzögerung und der Vorspannung. Für eine stetig ansteigende Reihe mit dem Trend sind die Werte der Verzögerung und der Vorspannung des Schätzers des Mittels in den folgenden Gleichungen angegeben. Die Beispielkurven stimmen nicht mit diesen Gleichungen überein, weil die Beispielmodell wird nicht kontinuierlich ansteigen, sondern es beginnt als Konstante, ändert sich zu einem Trend und wird dann wieder konstant Auch die Beispielkurven werden durch das Rauschen beeinflusst. Die gleitende durchschnittliche Prognose der Perioden in die Zukunft wird durch die Verschiebung der Kurven in die Rechts Die Verzögerung und die Vorspannung steigen proportional Die nachstehenden Gleichungen zeigen die Verzögerung und die Vorspannung einer Prognoseperioden in die Zukunft im Vergleich zu den Modellparametern. Diese Formeln sind für eine Zeitreihe mit einem konstanten linearen Trend. Wir sollten uns nicht überraschen Ergebnis Die gleitende durchschnittliche Schätzung beruht auf der Annahme eines konstanten Mittels, und das Beispiel hat einen linearen Trend im Mittel während eines Teils der Studienperiode Da Echtzeit-Serien selten genau den Annahmen eines Modells gehorchen, sollten wir vorbereitet werden Für solche Ergebnisse. Wir können auch aus der Figur, dass die Variabilität des Lärms hat die größte Wirkung für kleinere m Die Schätzung ist viel volatiler für den gleitenden Durchschnitt von 5 als die gleitenden Durchschnitt von 20 Wir haben die widersprüchlichen Wünsche zu erhöhen m Um den Effekt der Variabilität aufgrund des Rauschens zu verringern und m zu verringern, um die Prognose besser auf die Änderungen des Mittelwerts zu reagieren. Der Fehler ist die Differenz zwischen den tatsächlichen Daten und dem prognostizierten Wert Wenn die Zeitreihe wirklich ein konstanter Wert ist, der erwartet wird Wert des Fehlers ist Null und die Varianz des Fehlers besteht aus einem Term, der eine Funktion von und ein zweiter Term ist, der die Varianz des Rauschens ist. Der erste Term ist die Varianz des Mittelwertes, der mit einer Probe von m Beobachtungen geschätzt wird , Vorausgesetzt, die Daten stammen aus einer Population mit einem konstanten Mittelwert Dieser Begriff wird minimiert, indem man m so groß wie möglich macht. Eine große m macht die Prognose nicht mehr auf eine Veränderung der zugrunde liegenden Zeitreihe reagieren Um die Prognose auf Veränderungen zu reagieren, wollen wir m als Klein wie möglich 1, aber dies erhöht die Fehlerabweichung Die praktische Prognose erfordert einen Zwischenwert. Forecasting mit Excel. Das Prognose-Add-In implementiert die gleitenden durchschnittlichen Formeln Das folgende Beispiel zeigt die Analyse, die durch das Add-In für die Beispieldaten in Spalte bereitgestellt wird B Die ersten 10 Beobachtungen sind indiziert -9 bis 0. Im Vergleich zur obigen Tabelle werden die Periodenindizes um -10 verschoben. Die ersten zehn Beobachtungen liefern die Startwerte für die Schätzung und werden verwendet, um den gleitenden Durchschnitt für die Periode 0 zu berechnen 10 Spalte C zeigt die berechneten Bewegungsdurchschnitte Der gleitende Mittelwert m ist in Zelle C3 Die Spalte Fore 1 zeigt eine Prognose für einen Zeitraum in die Zukunft Das Prognoseintervall befindet sich in Zelle D3 Wenn das Prognoseintervall auf eine größere Zahl der Zahlen geändert wird In der Vorspalte werden nach unten verschoben. Die Err 1 Spalte E zeigt den Unterschied zwischen der Beobachtung und der Prognose Beispielsweise beträgt die Beobachtung zum Zeitpunkt 1 6 Der prognostizierte Wert, der aus dem gleitenden Durchschnitt zum Zeitpunkt 0 gemacht wird, ist 11 1 Der Fehler ist dann -5 1 Die Standardabweichung und die mittlere mittlere Abweichung MAD werden in den Zellen E6 bzw. E7 berechnet.
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